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PD Dr. Lothar Ridder

Logik

Griech. logos , ›Wort, Satz, Rede‹, auch ›Vernunft‹ (lat. ratio ): die Lehre von den formalen Regeln des gültigen Schließens. Sie hat ihren historischen Ausgangspunkt in der Syllogistik des Aristoteles und geht in ihrer modernen Gestalt als Aussagenlogik und Prädikatenlogik wesentlich auf Ideen von Frege und Russell zurück. Von einer Denklehre im Sinne einer Psychologie menschlichen Denkens unterscheidet sie sich dadurch, dass sie auf keine Beschreibung des tatsächlichen Denkverlaufs, sondern auf allgemeinste Prinzipien eines wahrheitsorientierten und wissenschaftlichen Ansprüchen genügenden Folgerns zielt. Im Zentrum logischer Untersuchungen stehen deshalb Fragen der Gültigkeit von Argumenten und ihnen zugrunde liegender Folgerungen. Bei metalogischen Betrachtungen werden darüber hinaus die systematischen Ergebnisse dieser Untersuchungen selbst Gegenstand der Logik.

Je nach Perspektive lässt sich die Logik als Teildisziplin der Philosophie, als Hilfswissenschaft für andere wissenschaftliche Disziplinen, als wissenschaftliche Propädeutik oder als eigene Wissenschaft auffassen. Als philosophische Disziplin wird und wurde sie nicht nur unter psychologischen Gesichtspunkten, sondern u. a. auch in der Erkenntnistheorie, der Ontologie und der Transzendentalphilosophie betrieben. Als Formalwissenschaft bleibt sie diesen Aspekten gegenüber neutral.

Eine nähere Charakterisierung des Gegenstands und der Methode der Logik beinhalten die heute üblichen Bezeichnungen formale oder symbolische bzw. mathematische Logik. Der Ausdruck formale Logik geht auf Kant zurück und verdeutlicht, dass diese Logik von jeglichem Inhalt abstrahiert. In ihr geht es deshalb nicht um konkrete Satzinhalte, sondern allein um deren Symbolisierungen und ihre allgemeinsten Beziehungen. Die Bezeichnungen symbolische oder mathematische Logik (auch: Logistik) weisen auf diesen Umstand hin und darüber hinaus auf die durch diese Symbolisierung ermöglichte Kalkülisierung logischer Operationen, d. h. mathematischer Berechnung zugängliche Formalisierung der Logik.

Ein Argument im logischen Sinn ist eine Menge von Aussagen, wobei für eine dieser Aussagen, nämlich die Konklusion, der Anspruch erhoben wird, dass sie sich aus den verbleibenden Aussagen, den Prämissen, mit Notwendigkeit ergebe. Diese notwendige Beziehung zwischen Prämissen und Konklusion wird logisch durch den Begriff der Folgerung präzisiert. Argumente können gültig oder ungültig sein, je nachdem ob die Konklusion logisch aus den Prämissen folgt oder nicht. Wesentlich für die Feststellung der Gültigkeit oder Ungültigkeit eines Arguments ist die Beziehung zwischen den Prämissen und der Konklusion unabhängig davon, ob diese wahr oder falsch sind. Ein Beispiel für ein gültiges Argument, den modus ponens , ist das folgende:

Wenn 1. bei steigendem Luftdruck das Wetter besser wird und 2. der Luftdruck tatsächlich steigt, dann wird 3. das Wetter besser.

1. und 2. stellen die Prämissen, 3. die Konklusion des Arguments dar. Symbolisieren wir die Aussage ›der Luftdruck steigt‹ durch p und die Aussage ›das Wetter wird besser‹ durch q, so lässt sich das Argument auf die folgende allgemeine Form bringen: Wenn 1. wenn p, dann q und 2. p, dann 3. q. Das Problem der Unterscheidung gültiger von ungültigen Argumenten reduziert sich auf die Beantwortung der Fragen, was eine logische Folgerung ist und wie sich feststellen lässt, ob diese Folgerungsbeziehung vorliegt oder nicht. Die klassischen Antworten auf diese Fragen finden sich – jeweils für bestimmte Formen von Aussagen – in der Aussagen- und Prädikatenlogik.

Aussagen sind Sätze, die einen Wahrheitswert haben. Hinsichtlich der Grundbegriffe Aussage und Wahrheitswert lässt sich die klassische Aussagenlogik durch folgende Prinzipien charakterisieren: 1. Zweiwertige Wahrheitsdefinitheit: Jeder Aussage kommt genau einer der Wahrheitswerte ›wahr‹ (w) oder ›falsch‹ (f) zu; 2. Wahrheitsfunktionalität: Der Wahrheitswert von Aussagen hängt in funktionaler Weise von den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen ab.

Die aussagenlogische Sprache enthält Aussagenvariablen p, q, r, … und Zeichen für logische Operatoren wie ›nicht‹ (~), ›und‹ (∧), ›oder‹ (∨) und ›wenn … dann‹ (→), aus denen sich wohlgeformte aussagenlogische Ausdrücke, auch Formeln genannt, gemäß den folgenden Regeln bilden lassen: 1. Jede Aussagevariable ist eine Formel. 2. Sind A und B Formeln, dann auch komplexe Ausdrücke wie z. B. ~A, (A ∧ B), (A ∨ B) und (A → B).

Die Bedeutung der logischen Operatoren lässt sich in der Form von Wahrheitstafeln angeben, für ~, ∧, ∨ und → auf folgende Weise (s. Tabelle).

Demnach ist ~A dann und nur dann wahr, wenn A falsch ist, (A ∧ B) dann und nur dann wahr, wenn A und B beide wahr sind, (A ∨ B) dann und nur dann falsch, wenn A und B beide falsch sind und (A → B) dann und nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

Jede Formel erhält unter einer Bewertung V genau einen Wahrheitswert. V ordnet dabei jeder Aussagenvariablen einen der Werte w oder f zu, woraus sich dann über die Bedeutung der logischen Operatoren die Wahrheitswerte komplexer Formeln ergeben. Auf der Basis des Bewertungsbegriffs lassen sich der grundlegende Begriff der Erfüllung und mit seiner Hilfe die Begriffe der logischen Wahrheit und Folgerung definieren. Erfüllung: Eine Bewertung V erfüllt eine Formel A (⊫v A) genau dann, wenn A unter V mit w zu bewerten ist; logische Wahrheit: Eine Formel A ist logisch wahr (⊫ A) genau dann, wenn A unter jeder Bewertung V erfüllt wird; Folgerung: Eine Formel B folgt aus der Prämissenmenge P = {A1,…,An} von Formeln A1,…,An (P ⊫ B) genau dann, wenn jede Bewertung V, die alle Elemente von P erfüllt, auch B erfüllt.

Das oben angegebene Argument lässt sich nun aussagenlogisch durch die Formel ((p → q) ∧ p) → q symbolisieren. Es lässt sich zeigen, dass diese Aussage logisch wahr ist und dass jede Bewertung V, die (p → q) und p erfüllt, auch q erfüllt. Gemäß Definition folgt deshalb q aus der Prämissenmenge {(p → q), p}, d. h. es gilt {(p → q), p} ⊫ q.

Bei dem bisher dargestellten Weg zur Präzisierung des aussagenlogischen Wahrheits- und Folgerungsbegriffs erhalten die aussagenlogischen Formeln durch Zuordnung eines Wahrheitswertes eine inhaltliche Deutung. Von diesem semantischen Weg lässt sich ein syntaktisches Verfahren abgrenzen, bei dem unter Absehung jeglicher Interpretation der sprachlichen Zeichen und Zeichenreihen gewisse Formeln als Axiome ausgezeichnet und nach Angabe eines Beweis- und Herleitungsbegriffs genau die logisch wahren Formeln beweisbar und die Folgerungen herleitbar werden. Die Vollständigkeit der Aussagenlogik besagt dann eine Entsprechung von Herleitungs- und Folgerungsbegriff in dem Sinne, dass alle aus einer Prämissenmenge herleitbaren Formeln Folgerungen daraus sind und umgekehrt. Insbesondere stimmen die beweisbaren und logisch wahren Aussagen überein. Das Entscheidbarkeitsproblem, ob sich für jede Formel eines logischen Systems in endlich vielen Schritten entscheiden lässt, ob sie logisch wahr ist oder nicht, lässt sich für die Aussagenlogik positiv beantworten. Da sich Folgerungen auf logisch wahre Aussagen reduzieren lassen, ist damit auch für jene ein Entscheidungsverfahren gegeben.

Für die Formalisierung vieler Argumente reicht die aussagenlogische Sprache nicht aus. Eine Erweiterung dieser Sprache stellt die Prädikatenlogik dar, die einerseits Aussagen in ihrer Subjekt-Prädikat-Struktur zu erfassen vermag und andererseits quantifizierende Redeteile wie ›für alle‹ (∀) und ›es gibt‹ (∃) enthält. Quantifikationen der Prädikatenlogik 1. Stufe beziehen sich allein auf Subjektsvariablen x, y, z, …, die Namen für Gegenstände aus einem vorgegebenem Gegenstandsbereich sind. Dass z. B. alle Gegenstände eines Gegenstandsbereichs eine bestimmte Eigenschaft F haben oder dass es mindestens einen solchen Gegenstand gibt, der F ist, lässt sich dann in der Weise ›∀xFx‹ bzw. ›∃xFx‹ symbolisieren. Zur Präzisierung der Begriffe der prädikatenlogischen Wahrheit und Folgerung stehen wie in der Aussagenlogik zwei Wege zur Verfügung, der syntaktische und der semantische. Auch für die Prädikatenlogik 1. Stufe lässt sich eine Entsprechung von Herleitungs- und Folgerungsbegriff erreichen (K. Gödel, Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls , 1930 ). Hingegen gibt es kein Verfahren, in endlich vielen Schritten zu entscheiden, ob eine vorgelegte prädikatenlogische Formel logisch wahr ist oder nicht (A. Church, A Note on the Entscheidungsproblem , 1936 ).

Schon zur Charakterisierung der natürlichen Zahlen reicht die Prädikatenlogik 1. Stufe nicht mehr aus. Eine solche erfordert die Quantifizierung auch von Prädikatvariablen. Prädikatenlogische Systeme, die Quantifizierungen auch über prädikative Ausdrücke erlauben, sind solche höherer Stufe. Für diese lässt sich zwischen semantischem und syntaktischem Aufbau keine Übereinstimmung mehr erreichen (K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematic und verwandter Systeme , 1931 ).

Unter den Begriff der nichtklassischen Logik fallen solche Systeme der Logik, die mindestens in einem der für die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik konstitutiven Prinzipien abweichen. Standardbeispiele für solche Logiken sind die mehrwertigen Logiksysteme, die über die Wahrheitswerte w und f hinaus mindestens einen weiteren Wahrheitswert annehmen, der sich z. B. als ›unbestimmt‹ (u) deuten lässt, und die intuitionistische Logik, in der z. B. der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (A ∨ ~A) nicht mehr uneingeschränkt gültig ist. Uneinheitlich ist das Verständnis hinsichtlich solcher Systeme, die auf der klassischen Logik aufbauen und diese durch Einführung zusätzlicher Operatoren erweitern, wie beispielsweise modallogische Systeme. Diese erweitern die in Betracht zu ziehenden Folgerungszusammenhänge auf Aussagen, die sich mit den Modaloperatoren ›es ist notwendig, dass …‹ (⎕) und ›es ist möglich, dass …‹ (◊) bilden lassen. In modallogischen Systemen gilt das Prinzip der Wahrheitsfunktionalität jedoch nicht. So können wir z. B. von der Wahrheit einer Aussage p weder auf die Wahrheit noch auf die Falschheit der Aussage schließen, dass es notwendig ist, dass p. Diese Systeme lassen sich deshalb auch den nichtklassischen zuordnen.

Metalogische Untersuchungen thematisieren die Syntax und Semantik formal-logischer Systeme, insbesondere auch mathematischer Theorien. Im Vordergrund dieser Untersuchungen stehen dabei Fragen nach der Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit, Axiomatisierbarkeit und Entscheidbarkeit der betrachteten Systeme. Zur Vermeidung von Widersprüchen muss dabei streng zwischen der Objektsprache, die Gegenstand der Untersuchung ist, und der Metasprache, in der man sich auf die Objektsprache bezieht, unterschieden werden. Wesentliche metalogische Resultate zur Unvollständigkeit gewisser arithmetischer Systeme gehen auf Gödel (1931) zurück, solche zur wissenschaftlichen Grundlegung der Semantik und insbesondere zum Problem der Definierbarkeit von Wahrheit in formalen Systemen auf Tarski (1933). Metalogische Problemstellungen und Methoden zu ihrer Lösung finden sich u. a. in mathematisch grundlegenden Disziplinen wie z. B. der Mengenlehre, der Modell- und Beweistheorie und der Rekursionstheorie.

In der formalen Logik bleiben Fragen der Geltung und Sinnhaftigkeit von Argumenten, wie sie sich im praktischen Diskurs stellen könnten, weitgehend unberücksichtigt. Ihr geht es vorrangig um präzise und widerspruchsfreie Erfassung formaler Argumentationsstrukturen unabhängig von pragmatischen Gesichtspunkten oder weltanschaulichen Vorgaben. Von fundamentalem philosophischen Interesse ist dagegen die Hinterfragung der Voraussetzungen, Methoden und Resultate der formalen Logik, wie z. B. die Diskussion alternativer Konzeptionen der logischen Folgerung und Fragen nach dem erkenntnistheoretischen und ontologischen Status logischer Wahrheiten sowie dem Verhältnis von Logik und Mathematik.

H. Brands, C. Kann, ›Logik‹ , in: L. Honnefelder / G. Krieger (Hg.), Philosophische Propädeutik, Bd. 1: Sprache und Erkenntnis, Paderborn 1994, S. 53–117

A. Bühler, Einführung in die Logik. Argumentation und Folgerung , 3. Aufl., München 2000

G. Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic , 6. Aufl., Berkeley / Los Angeles / London 1996

L. Kreiser, S. Gottwald, W. Stelzner (Hg.) Nichtklassische Logik. Eine Einführung , 2. Aufl., Berlin 1990

S. Read, Philosophie der Logik. Eine Einführung , Hamburg 1997

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Quelle: Online-Wörterbuch Erwachsenenbildung. Basierend auf: Wörterbuch Erwachsenenbildung. Hg. v. Rolf Arnold, Sigrid Nolda, Ekkehard Nuissl. 2., überarb. Aufl., Verlag Julius Klinkhardt / UTB. ISBN 978-3-8252-8425-1. © 2010 Julius Klinkhardt