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Jan Westerhoff

Frege, Gottlob

(1848–1925): Geboren am 8. 11. in Wismar, gestorben am 26. 7. in Bad Kleinen. Versetzt man sich in das erste Viertel des 20. Jhs. fällt es schwer, Freges Lebenswerk nicht als gescheitert anzusehen. Der zweite Band der Grundlagen der Arithmetik , die von ihm als Krönung seiner jahrzehntelangen Forschungen über die Grundlagen der Mathematik angesehen wurde, war gerade fertiggestellt, als am 16. Juni des Jahres 1902 ein heute berühmter Brief von Russell eintraf, in dem er Frege die Entdeckung eines Widerspruchs mitteilte, der sich aus dem im ersten Band der Grundlagen dargestellten System herleiten lässt. Dieser heute als russellsche Antinomie bekannte Widerspruch untergrub die Plausibilität des gesamten fregeschen Systems. Freges Versuche, den Fehler zu beheben, blieben erfolglos. In den Jahren vor seinem Tod war Frege persönlich wie wissenschaftlich isoliert, seine Forschungen wurden, zumindest in seinem unmittelbaren akademischen Umfeld an der Universität Jena, weder geschätzt noch verstanden und es dauerte mindestens bis zum Ende der fünfziger Jahre, bis auch in Deutschland das Interesse an Frege wieder erwachte.

Dennoch lässt sich ohne Übertreibung behaupten, dass Frege neben Wittgenstein und Heidegger zu den einflussreichsten deutschsprachigen Philosophen gehört. Er übte nicht nur einen bedeutenden Einfluss auf den frühen Wittgenstein und auf Carnap aus (Letzterer war zeitweilig sein Schüler) und legte die Grundlagen für die formale Logik in ihrer heutigen Gestalt, sondern führte auch Techniken des philosophischen Argumentierens ein, die für die analytische Philosophie nach wie vor von fundamentaler Bedeutung sind.

Freges Leben, das er größtenteils an der Universität Jena verbrachte – zuerst als außerordentlicher Professor, dann als ordentlicher Honorarprofessor für Mathematik – verlief wenig ereignisreich. Seine erste philosophisch bedeutende Publikation legte er 1879 vor, einen schmalen Band mit dem Titel Begriffsschrift. Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Dieses Buch nimmt in der Geschichte der Logik eine ähnliche Sonderstellung ein wie Aristoteles’ Erste Analytik und ließ (einige verständige) Zeitgenossen von Frege als »dem größten Logiker unserer Zeiten« sprechen. Das darin verfolgte Programm wird von Frege selbst in die Tradition der leibnizschen characteristica universalis gesetzt, also einer formalen Kunstsprache, die Inhalte so exakt darzustellen vermag, dass sich Denkfehler in ihr erst gar nicht formulieren lassen. Frege führte eine (heute nicht mehr verwendete) zweidimensionale Notation ein, die es erlauben soll, mathematische und allgemein wissenschaftliche Schlüsse »auf sicherste Weise zu prüfen und jede Voraussetzung, die sich unbemerkt einschleichen will, anzuzeigen«. Die Konzeption des dargestellten Systems unterscheidet sich von der von George Boole einige Jahre zuvor vorgelegten logischen Algebra dahingehend, dass die Begriffsschrift nicht nur zur symbolischen Notation logischer Gesetze, sondern zum exakten Ausdruck eines (nichtlogischen) Inhalts dienen sollte. In der heutigen Rezeption steht allerdings nicht dieser inhaltliche Aspekt im Vordergrund, sondern der von Frege präsentierte Kalkül. Frege führte als primitive Operatoren die materiale Implikation und die Negation zusammen mit ihrer formalen Interpretation ein (die später von Wittgenstein zu den heute bekannten Wahrheitstafeln weiterentwickelt werden sollte). Einzige Schlussregel auf dieser Ebene ist der modus ponens . Frege zeigte, wie sich mithilfe dieses Materials neue Operatoren und Schlussregeln bestimmen lassen. Dieser Teil der Begriffsschrift entspricht der klassischen Aussagenlogik.

Eine wesentliche Neuerung in Freges System ist die Tatsache, dass er die aristotelische Unterscheidung von Subjekt und Prädikat über Bord wirft und Sätze stattdessen durch die Kategorien ›Funktion‹ und ›Argument‹ analysiert. Dies ermöglicht einen eleganten Umgang mit Ausdrücken wie ›alle‹, ›einige‹, ›kein‹ usw., die in der aristotelischen Logik dem Prädikat zugeschlagen wurden. Frege bezieht sie jedoch auf den ganzen Satz und bestimmt sie als Funktionen zweiter Stufe, die Funktionen erster Stufe (nämlich Sätze ohne solche Ausdrücke) als Argumente nehmen. Hiermit hat Frege den Quantor in die Logik eingeführt und die klassische Prädikatenlogik begründet, die die Ausdrucksmöglichkeiten sowohl der Syllogistik als auch der booleschen logischen Algebra überschreitet. Im Folgenden diskutiert Frege einige Anwendungen seines Kalküls (das nie als bloßer Kalkül, sondern stets als Ausdruckshilfsmittel gedacht war), insbesondere definiert er in der Prädikatenlogik zweiter Stufe das Prinzip der mathematischen Induktion, einen für die Begründung der Arithmetik essenziellen Begriff.

Der Natur mathematischer Urteile und insbesondere der Definition des Anzahlbegriffes ist Freges fünf Jahre später erscheinendes Werk Die Grundlagen der Arithmetik gewidmet. Noch Kant war der Meinung, dass arithmetische Urteile a priori, also vor aller Erfahrung gelten, jedoch nicht analytisch seien: das Prädikat eines Urteils ist nicht in versteckter Form schon im Subjekt enthalten. Freges Projekt ist der Nachweis der analytischen Natur arithmetischer (und damit allgemein mathematischer) Urteile. ›Analytisch‹ wird von ihm jedoch nicht im Sinne der Begriffsinklusion verstanden, vielmehr gilt ein Urteil als analytisch, wenn zu seinem Beweis nur Sätze der Logik sowie Definitionen verwendet werden müssen. In diesem Sinne will das fregesche logizistische Programm zeigen, dass die gesamte Mathematik aus analytischen, d. h. aus auf die Logik zurückführbaren Sätzen besteht. Der Durchführung dieses Programms sind die Grundlagen gewidmet. Sie bauen auf der Begriffsschrift auf, verwenden aber nicht Freges Notation (ein Zugeständnis an eine breitere Leserschaft), ohne dass dies jedoch der Strenge der Argumentation Abbruch tut. Zu Beginn der Grundlagen nennt Frege drei allgemeine Prinzipien, von denen er im Lauf seiner Untersuchungen ausgeht. Diese sind nicht nur von wesentlicher Bedeutung für ein Verständnis von Freges Werk, sondern auch für die gesamte spätere Entwicklung der analytischen Philosophie. Es sind dies die Trennung von Logik und Psychologie, das Kontextprinzip sowie die Unterscheidung von Begriff und Gegenstand.

In der Logik des 19. Jhs. wurde ein Urteil regelmäßig als eine Verbindung von Vorstellungen bezeichnet. Die Betrachtung arithmetischer Urteile zeigt, wie problematisch diese Annahme ist: Zahlen als Bestandteile von solchen Urteilen müssten demnach Vorstellungen sein. Ein mathematisches Objekt wie die Zahl fünf ist jedoch nicht identisch mit der Vorstellung von ihm (dann gäbe es viele verschiedene Fünfen, die Zahl fünf wäre vergänglich usw.), genauso wenig, so argumentiert Frege, wie z. B. Helium identisch mit der Vorstellung von Helium ist. Diese Unterscheidung zwischen dem Psychologischen der Vorstellungen und Denkprozesse und dem Logischen stellte eine wesentliche Voraussetzung für die Fortentwicklung der modernen Logik dar.

Das Kontextprinzip besagt, dass nach der Bedeutung von Worten nur im Satzzusammenhang, nicht in ihrer Vereinzelung gefragt werden darf. Auch wenn wir dies nicht als semantische These (»Die Bedeutung eines Wortes wird vom Satzzusammenhang bestimmt«) auffassen, formuliert es doch eine bestimmte philosophische Methodik. Es schlägt vor, die ontologische Kategorie bestimmter Objekte (z. B. Zahlen) zu bestimmen, indem wir Sätze über diese Objekte analysieren. Anders als verschiedene Theorien, die davon ausgingen, dass z. B. Zahlzeichen an sich bedeutsam seien, soll für Frege die Untersuchung des Zahlbegriffs bei der Analyse von arithmetischen Sätzen ansetzen. Diese Forderung nach der Priorität der Untersuchung der Verwendung von Ausdrücken, die über eine bestimmte Art von Dingen sprechen, vor inhaltlichen Spekulationen über diese Dinge hat Frege zu einem Begründer der sprachanalytischen Methode in der Philosophie (mit dem für sie charakteristischen linguistic turn ) gemacht.

Frege unterscheidet zwischen Gegenständen, die durch Namen oder Kennzeichnungen bezeichnet werden (›Petrus‹, ›der japanische Kaiser‹) und Begriffen, denen wir normalerweise einen unbestimmten Artikel voranstellen (›ein Schiff‹). Eigenschaften von Gegenständen identifiziert er mit Funktionen erster Stufe, Eigenschaften von Begriffen mit Funktionen zweiter Stufe. Es ist also in Freges System nicht möglich, zu sagen ›A existiert‹ wenn A einen Gegenstand und nicht einen Begriff bezeichnet (unter einen Begriff kann somit etwas fallen, nicht jedoch unter einen Gegenstand). Freges Kunstsprache lässt nicht zu, bestimmte philosophische Aussagen (wie z. B. die, dass Existenz eine Eigenschaft von Gegenständen ist, eine Voraussetzung mancher Formen des ontologischen Gottesbeweises) zu formulieren. Frege konstruiert hier zum ersten Mal das Ideal einer philosophischen Sprache, die sozusagen aus sich heraus das Denken in die richtige Richtung lenkt.

Frege wollte eine Untersuchung des Anzahlbegriffs durch Analyse von Sätzen, in denen Zahlen vorkommen, durchführen. Als besonders wichtig erweisen sich in diesem Fall Identitätsaussagen, also Sätze wie ›die Anzahl der F ist gleich der Anzahl der G‹. Frege argumentiert, dass diese wahr (also F und G gleichzahlig) sind, falls die F und G einander ein-eindeutig zugeordnet werden können (d. h. für jedes F gibt es genau ein G und umgekehrt). Die Annahme, dass die Anzahl der F gleich der der G genau dann ist, wenn F und G gleichzahlig sind, wird als humesches Prinzip bezeichnet (da Frege es mit einem Zitat Humes einführt). Frege zeigt dann im Weiteren, wie sich ›gleichzahlig‹ rein logisch definieren lässt (für die Durchführbarkeit des logizistischen Programms eine entscheidende Tatsache). Aufgrund verschiedener Probleme verwendet Frege jedoch am Ende ein anderes, etwas komplexeres Prinzip. Eine wichtige Schwierigkeit mit der obigen Bestimmung ist das so genannte Julius-Cäsar-Problem. Wenn F und G einander eineindeutig zugeordnet werden können, ist es uns zwar möglich, Identitätsaussagen bestimmter Art zu entscheiden (wie z. B. ›die Anzahl der F ist mit der der Anzahl der G identisch‹), aber nicht andere (›die Anzahl der F ist mit Julius Cäsar identisch‹). Wir scheinen keine klare ontologische Trennlinie zwischen Anzahlen und anderen Gegenständen ziehen zu können.

Frege bestimmt schließlich die Anzahl der F als den Umfang des Begriffes ›gleichzahlig mit dem Begriff F‹ (so ist dann z. B. die Anzahl der zwölf Apostel gleich der Menge aller zwölfelementigen Mengen). Frege leitet das humesche Prinzip dann hieraus ab und kann nun die Zahl Null (gleichzahlig mit dem Begriff ›sich selbst ungleich‹) sowie die Nachfolgerbeziehung und weitere wichtige arithmetische Begriffe definieren.

Allerdings benötigt Frege zur Ableitung des humeschen Prinzips das berühmt-berüchtigte Grundgesetz V aus den Grundgesetzen (»Die Umfänge zweier Begriffe sind gleich genau dann, wenn alles, was unter den einen fällt, auch unter den anderen fällt«). Dies entpuppt sich als entscheidende Schwachstelle des Systems. Genau hieraus lässt sich nämlich die russellsche Antinomie herleiten (da wir nun über die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, sprechen können; diese Menge enthält sich selbst genau dann, wenn sie sich nicht selbst enthält), sodass die Inkonsistenz von Freges System gezeigt ist. Alle seine Beweise sind eigentlich uninteressant, da sich in solchen Systemen sowieso jeder Satz beweisen lässt.

Die 1893 und 1903 publizierten beiden Bände der Grundgesetze der Arithmetik stellen im Wesentlichen eine formale Fassung der Grundlagen dar. Allerdings enthalten sie auch eine Reihe von eigenständig interessanten Resultaten, die hier wenigstens kurz erwähnt werden sollen. Wichtig ist zum einen das so genannte fregesche Theorem, das besagt, dass die der Arithmetik zugrunde liegenden Axiome in der Prädikatenlogik zweiter Stufe aus dem humeschen Prinzip allein abgeleitet werden können (also ohne das problematische Grundgesetz V bemühen zu müssen). Weiterhin gibt Frege rein logische Definitionen endlicher und unendlicher Anzahl und beweist das Kategorizitätstheorem (»Alle die Axiome der Arithmetik erfüllenden Modelle sind isomorph«).

Viele für das Verständnis von Freges Arbeiten zentrale Begriffe finden sich auch in seinen Aufsätzen, besonders sind hier Funktion und Begriff , Über Sinn und Bedeutung sowie Der Gedanke zu nennen.

Seine Werke zur Grundlegung der Arithmetik sind in der analytischen Philosophie viel rezipiert worden, vielen gilt er sogar als ihr Vater und Begründer. Herauszuheben sind in diesem Zusammenhang besonders die Werke Michael Dummetts, die Freges Arbeiten international bekannt gemacht haben. Aufgrund der Inkonsistenz des fregeschen Programms konzentriert sich ein Großteil der gegenwärtigen systematischen Fregeforschung hauptsächlich auf das humesche Prinzip. Ließe es sich als rein logisches Prinzip auffassen, wäre dies (dank des fregeschen Theorems) eine recht gute Rechtfertigung des Logizismus. Allerdings wird diese Annahme nicht von vielen geteilt. Crispin Wright verteidigt in seinen Arbeiten die Auffassung, dass es sich beim humeschen Prinzip zwar nicht um ein logisches Prinzip, aber doch um eine Erklärung der Verwendung von Namen von Anzahlen handle. Lässt sich hieraus die Arithmetik gewinnen, so Wright, ist ein großer Schritt in einem neufregeschen Programm getan. Die Forschung auf diesem faszinierenden Gebiet dauert an.

M. Dummett, Frege’s Philosophy of Language , 2. Aufl. London 1992 [1973]

G. Frege, Begriffsschrift. Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle 1879 [Neudruck Darmstadt 1964]

G. Frege, Funktion – Begriff – Bedeutung , hg. von M. Textor, Göttingen 2002

G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl , Breslau 1884 [Neudruck Stuttgart 1987]

G. Frege, Die Grundgesetze der Arithmetik , Bd. I, Jena 1893, Bd. II, Jena 1903

C. Wright, Frege’s Conception of Numbers as Objects , Aberdeen 1983

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hg. v. Wulff D. Rehfus
Mit Beiträgen von 54 Autoren
1. Aufl. 2003, 736 S., vergriffen

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Quelle: Online-Wörterbuch Erwachsenenbildung. Basierend auf: Wörterbuch Erwachsenenbildung. Hg. v. Rolf Arnold, Sigrid Nolda, Ekkehard Nuissl. 2., überarb. Aufl., Verlag Julius Klinkhardt / UTB. ISBN 978-3-8252-8425-1. © 2010 Julius Klinkhardt