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Jan Westerhoff

Prädikatenlogik

Erweiterung der Aussagenlogik, die Aussagen nicht als unanalysiert betrachtet, sondern einen Teil ihrer inneren Struktur mit einbezieht. Klassische Syllogismen wie ›Alle Säugetiere sind sterblich, alle Schafe sind Säugetiere, also sind alle Schafe sterblich‹ lassen sich nicht als aussagenlogisch gültig erweisen, da die Aussagenlogik den inneren Aufbau der Sätze, der hier für die Implikation verantwortlich ist, nicht aufzeigt. Die Prädikatenlogik ist der aristotelischen Syllogistik jedoch dadurch überlegen, dass sie neben solchen Schlüssen wie dem obigen auch Schlüsse, die auf Relationen mit beliebig großer Stellenanzahl beruhen, behandeln kann.

Die Prädikatenlogik erster Stufe lässt sich als Erweiterung der Aussagenlogik betrachten. Wir fügen der aussagenlogischen Sprache folgende weitere Elemente bei: 1. eine Menge von Individuenvariablen x, x’, x’’…, 2. eine Menge von Prädikatsnamen P, P’, P’’… für jede beliebige endliche Stelligkeit sowie entweder den Allquantor ∀ (›für alle … gilt –’) oder den Existenzquantor ∃ (›es gibt mindestens ein … für das gilt –’). Hiermit lassen sich dann Aussagen wie ›Alle Schafe sind Säugetiere‹ formalisieren ((∀x)(Px → Px’)), ebenso wie sich die Unterschiede zwischen recht ähnlichen Aussagen wie ›Jeder Mann liebt mindestens eine Frau‹ ((∀x)(∃x’)(Mx ∧ Fx’ → Lxx’)) und ›Es gibt mindestens eine Frau, die jeder Mann liebt‹ ((∃x)(∀ x’)(Fx ∧ Mx’ → Lx’x)) aufzeigen lassen. In der Prädikatenlogik höherer Stufen besteht die Möglichkeit, nicht nur über Individuen, sondern auch über Prädikate von Individuen, über Prädikate von Prädikaten von Individuen usw. zu quantifizieren.

Die Prädikatenlogik hat somit eine größere Ausdruckskraft als die Aussagenlogik, gleichzeitig aber auch eine kompliziertere Semantik. Als Modell der Prädikatenlogik betrachtet man üblicherweise eine Menge von Objekten O, in Bezug auf die dann n-stellige Prädikate als Mengen von n-Tupeln aus O definiert werden. So wird z. B. ein Satz (∃x)(Fx) über einem solchen Modell als die Aussage verstanden, dass es mindestens ein Objekt aus O gibt, welches sich in der Menge von 1-Tupeln, welche dem Prädikat F in der Interpretation zugeordnet ist, befindet. Es existieren noch weitere Komplikationen, auf die beim Erstellen einer prädikatenlogischen Semantik Acht gegeben werden muss, auf die hier jedoch nicht eingegangen werden kann.

Wie die Aussagenlogik kann auch die Prädikatenlogik entweder als Axiomensystem oder als System des natürlichen Schließens formuliert werden. Der erste Vollständigkeitsbeweis einer axiomatischen Formulierung stammt von Gödel aus dem Jahr 1931. Im Gegensatz zur Aussagenlogik ist die Prädikatenlogik jedoch nicht entscheidbar. Falls es sich bei einer prädikatenlogischen Formel um ein Theorem handelt, existieren maschinenimplementierbare Verfahren, die dies nach endlicher Dauer feststellen können. Handelt es sich jedoch um kein Theorem, kann es sein, dass diese Prozedur nie ein Resultat liefert und die Maschine für immer weiter läuft. Es ist also nur eine Hälfte der Entscheidbarkeitsfrage (nämlich die positive) effektiv beantwortbar.

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Handwörterbuch Philosophie

hg. v. Wulff D. Rehfus
Mit Beiträgen von 54 Autoren
1. Aufl. 2003, 736 S., vergriffen

» Nachfolgewerk in 4 Bänden

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Quelle: Online-Wörterbuch Erwachsenenbildung. Basierend auf: Wörterbuch Erwachsenenbildung. Hg. v. Rolf Arnold, Sigrid Nolda, Ekkehard Nuissl. 2., überarb. Aufl., Verlag Julius Klinkhardt / UTB. ISBN 978-3-8252-8425-1. © 2010 Julius Klinkhardt