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Jan Westerhoff

Aussagenlogik

Teil der Logik, der sich mit (als unanalysiert betrachteten) Aussagen sowie deren Verknüpfung durch Operatoren, die als formale Äquivalente für Ausdrücke wie ›und‹, ›oder‹, ›nicht‹ und ›wenn … dann‹ betrachtet werden, beschäftigt. Die Sprache eines aussagenlogischen Systems besteht aus einer Menge von Aussagenvariablen p, q, r … sowie einer Menge von Operatoren ∧, ∨, ¬ und →. Weiterhin stellt man eine Reihe von Formungsregeln auf, welche erlauben, für jede Reihe von Aussagenvariablen und Operatoren zu entscheiden, ob es sich um einen wohlgeformten Satz handelt. Das in dieser Sprache formulierte System lässt sich dann entweder als axiomatisches System oder als System natürlichen Schließens formulieren. Bei ersterem wählt man eine entscheidbare Menge wohlgeformter Sätze zusammen mit mindestens einer Ableitungsregel aus, aus denen dann weitere Sätze abgeleitet werden können. Beim zweiten verzichtet man ganz auf die Axiome und beschränkt sich nur auf Ableitungsregeln, kann dann jedoch auch Ableitungen aus der leeren Menge von Prämissen konstruieren.

Eine klassische zweiwertige Semantik der Aussagenlogik gibt man, indem man den Aussagenvariablen jeweils einen Wahrheitswert (1 für wahr und 0 für falsch) zuweist und die Operatoren als Funktionen von Wahrheitswerten bzw. Wahrheitswertepaaren zu Wahrheitswerten auffasst. So nimmt die dem Operator ∧ entsprechende Funktion den Wahrheitswert 1 als Wert dann und nur dann an, wenn die beiden durch sie verknüpften Sätze auch den Wahrheitswert 1 annehmen. Zur Bestimmung des Wahrheitswertes komplexer Sätze verwendet man so genannte (auf Wittgenstein zurückgehende, sich in einer Frühform jedoch schon bei Lewis Carroll findenden) Wahrheitstafeln, in denen die verschiedenen Wahrheitswertzuweisungen zu den Aussagenvariablen und die daraus resultierenden Wahrheitswertzuweisungen zu den aus ihnen geformten komplexen Sätzen dargestellt werden.

Von besonderem Interesse ist eine Klasse von wohlgeformten Sätzen, nämlich die, deren Elementen der Wahrheitswert 1 zugeteilt wird, unabhängig davon, welche Wahrheitswerte den Aussagenvariablen zugeteilt werden (z. B. p ∨ ¬ p, p ∧ p, (p ∧ q) ∨ p). Es lässt sich nun zeigen, dass bestimmte dieser so genannten Tautologien (nämlich die, deren Hauptoperator die materiale Implikat ist) den (aussagenlogisch) gültigen Argumenten entsprechen: Für diese kann es nämlich nicht der Fall sein, dass der Vordersatz der Implikation wahr und der Nachsatz falsch ist.

Bei der Konstruktion eines aussagenlogischen Systems, gleichviel ob es sich dabei um ein axiomatisches System oder ein System des natürlichen Schließens handelt, ist es verständlicherweise Ziel, alle Tautologien und nur die Tautologien ableitbar zu machen. Ein System, welches diese Ansprüche erfüllt, nennt man sowohl vollständig als auch konsistent. Jede Anforderung an sich ist einfach zu erfüllen. Für die Vollständigkeit brauchen wir nur ein Axiom der Form p→q (zusammen mit der Ableitungsregel, dass wir aus p und p→q q schließen dürfen – dieses System ist dann natürlich nicht konsistent), für die Konsistenz reicht es aus, wenn wir uns auf ein Axiom wie p→p beschränken (das resultierende System ist dann offensichtlich nicht vollständig). Standardsysteme der Aussagenlogik erfüllen beide Anforderungen gleichzeitig. Darüber hinaus lässt sich zeigen, dass die Aussagenlogik entscheidbar ist, d. h. für jede Reihe von Aussagenvariablen und Operatoren gibt es ein endliches Verfahren (z. B. die Konstruktion von Wahrheitstafeln) mit dessen Hilfe sich entscheiden lässt, ob es sich um eine Tautologie, einen kontingenten Satz (wie z. B. p ∧ q) oder eine Kontradiktion (die Negation einer Tautologie) handelt.

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Handwörterbuch Philosophie

hg. v. Wulff D. Rehfus
Mit Beiträgen von 54 Autoren
1. Aufl. 2003, 736 S., vergriffen

» Nachfolgewerk in 4 Bänden

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Quelle: Online-Wörterbuch Erwachsenenbildung. Basierend auf: Wörterbuch Erwachsenenbildung. Hg. v. Rolf Arnold, Sigrid Nolda, Ekkehard Nuissl. 2., überarb. Aufl., Verlag Julius Klinkhardt / UTB. ISBN 978-3-8252-8425-1. © 2010 Julius Klinkhardt