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Dr. Thomas Blume

Beweis

Bezeichnet ein Verfahren zur Begründung oder Rechtfertigung einer Behauptung bzw. zur Einlösung eines Wahrheitsanspruchs. Im alltäglichen und vorwissenschaftlichen Verständnis kann eine Behauptung als bewiesen angesehen werden, wenn sich Zeugnisse beibringen lassen, die keine Zweifel an der Richtigkeit der Behauptung lassen. Derartige Zeugnisse sind die Berichte von Augenzeugen, aber auch Fingerabdrücke und dergleichen. Traditionell bezeichnet man diese Art von Beweis als Beweis durch Augenschein (demonstratio ad oculos ).

Unter einem deduktiven Beweis versteht man die Ableitung eines Satzes aus einer Reihe von Grundsätzen und bereits zuvor bewiesenen Sätzen mit Hilfe von logischen Schlussregeln. Unter Grundsätzen versteht man solche Sätze, deren Wahrheit entweder unmittelbar einsichtig ist oder deren Wahrheit innerhalb eines Systems konventionell, also auf dem Wege einer Vereinbarung festgelegt worden ist. Die bereits zuvor bewiesenen Sätze werden als Theoreme bezeichnet. Solche Sätze können innerhalb eines Beweises verwendet werden, ohne noch einmal bewiesen werden zu müssen.

Bei einem induktiven Beweis handelt es sich dagegen um ein Beweisverfahren, bei dem aus der Beschaffenheit einer endlichen, in der Regel aber sehr großen Anzahl von Gegenständen auf die Beschaffenheit aller Gegenstände geschlossen wird (z. B. ›Alle bisher beobachteten Schwäne sind weiß. Daher sind alle Schwäne weiß.‹)

Der in der Mathematik und Logik zur Anwendung kommende Beweis mittels vollständiger Induktion beweist eine bestimmte Eigenschaft zunächst für ein Anfangsglied einer Folge (Induktionsvoraussetzung). Sodann wird gezeigt, dass, wenn ein beliebiges Glied die besagte Eigenschaft besitzt, dann auch das folgende Glied die Eigenschaft besitzt (Induktionsschritt). Aus beiden Schritten zusammen folgt, dass jedes Glied die besagte Eigenschaft besitzt.

Unter einem indirekten Beweis, auch als reductio ad absurdum bezeichnet, versteht man ein Beweisverfahren, bei dem ein Satz dadurch bewiesen wird, dass man sein Gegenteil widerlegt. Dabei wird zu einem gegebenen Satz zunächst sein Gegenteil gebildet, also anstatt A wird Nicht-A angenommen. Wenn mit Hilfe der logischen Schlussregeln gezeigt werden kann, dass der Satz Nicht-A zu einem Widerspruch führt, folgt daraus, dass der angenommene Satz Nicht-A nicht wahr sein kann und folglich sein Gegenteil wahr sein muss. Dabei wird vorausgesetzt, dass es außer den beiden Alternativen A und Nicht-A kein Drittes gibt (tertium non datur ).

Bei den so genannten Beweisfehlern handelt es sich um Verstöße gegen die Beweisregeln. Einige der am häufigsten auftretenden Arten von Beweisfehlern wurden in der Tradition mit lateinischen und griechischen Namen versehen. Von einem circulus vitiosus , einem fehlerhaften Zirkel, spricht man, wenn innerhalb des Beweises die erst zu beweisende Behauptung selbst schon benutzt wird. Eine petitio principii oder Forderung des Beweisgrundes liegt dann vor, wenn im Verlauf des Beweises ein unbewiesener Satz verwendet wird, bei dem es sich um kein Axiom handelt. Bei einem hysteron-proteron handelt es sich um eine Umkehrung der korrekten Beweisordnung. A hätte mit Hilfe von B bewiesen werden sollen. Stattdessen wurde B mit Hilfe von A bewiesen. Von einem proton pseudos , einem falschen Anfang spricht man, wenn bereits der Anfang des Beweises auf einem grundlegenden Irrtum beruht. Wichtig ist weiterhin die quaternio terminorum , eine Begriffsverwirrung, die ihren Grund darin hat, dass ein und dasselbe Wort in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet wird (Argument).

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Handwörterbuch Philosophie

hg. v. Wulff D. Rehfus
Mit Beiträgen von 54 Autoren
1. Aufl. 2003, 736 S., vergriffen

» Nachfolgewerk in 4 Bänden

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Quelle: Online-Wörterbuch Erwachsenenbildung. Basierend auf: Wörterbuch Erwachsenenbildung. Hg. v. Rolf Arnold, Sigrid Nolda, Ekkehard Nuissl. 2., überarb. Aufl., Verlag Julius Klinkhardt / UTB. ISBN 978-3-8252-8425-1. © 2010 Julius Klinkhardt